نااینهمانیِ راستی و اثبات‌پذیری

کورت گودل    آلبرت اینشتین

The nonidentity of truth and provability

دکتر حسن بلوری 

فشرده

آیا توانِ شناختِ انسان محدود است یا نامحدود؟ اگر محدود باشد چگونه و در کجا خود را نشان می‌دهد؟ آیا ’راستی (صدق)‘ و ’اثبات‌پذیری‘ معادل یکدیگرند؟ آیا اثبات‌پذیری قابل تعریف است و اگر آری به چه شکلی؟ چگونه می‌توان دریافت که یک اثبات واقعی است؟ آیا واقعیت‌های اثبات‌ناپذیر وجود دارند؟ اگر چنین باشد آیا معنای آن جز از این است که بقول استیون هاوکینگ احتمالا ذات هستی و قوانین بنیادین آن خارج از دسترس ما خواهد ماند؟ آیا  ’نظریه‌ همه چیز‘ (نظریه‌ای برای توصیف کل گیتی) می‌تواند وجود داشته باشد؟ آیا می‌توان به این پرسش‌ها پاسخ‌ قطعی داد؟ اگر آری به چه شکلی و در چه زمینه‌هایی؟ و پیامدهای فلسفی و علمی آنها چیست؟ چنانچه ذهن انسان توان پاسخ‌ به پرسش‌های ذکر شده را نداشته باشد آیا ماشین تورینگ می‌تواند به او یاری رساند؟ یعنی، آیا چنان آلگوریتمی (ماشینی) قادر است هر چیزی را محاسبه (اثبات) کند؟ اگر پاسخ منفی باشد با توجه به مسائل نامبرده مفهوم شناخت چیست؟ و تا چه اندازه برای انسان قابل دسترسی است؟ در همین رابطه می‌پرسیم، آیا می‌توان قابلیت‌های بنیادین شناختی در انسان را شناخت؟ 

دانش فلسفه در باره‌ی نکات ذکر شده چه می‌گوید؟ ریاضیات، به‌ویژه علم منطق، و فیزیک چه موضعی دارند؟ ماشین تورینگ چه پاسخی دارد. پرسش‌هائی که می‌خواهم در این مقاله پس از توضیحات ضروری و در حد امکان خود به آنها بپردازم.

پیشگفتار                  

در آغاز مایلم برای روشن کردن مسیر و جهت موضوعِ مقاله مثالی را ذکر کنم که به ’پارادوکس درغگو‘ معروف است. این پارادوکس به اپیمنیدس، فیلسوف یونانی حدود قرن ششم پیش از میلاد، نسبت داده می‌شود. دروغگو:

“وقتی می‌‌گویم که من اکنون دروغ می‌گویم، آیا من حقیقت را می‌گویم؟

اگر من حقیقت را می‌گویم پس من اکنون دروغ می‌گویم و لذا غیرحقیقت را می‌گویم؛ اما اگر من اکنون حقیقت را نمی‌گویم، پس من در این لحظه دروغ می‌گویم و در نتیجه حقیقت را می‌گویم.”۲و۳  

ملاحظه می‌کنیم که ما در اینجا (در زبان طبیعی) با پارادوکسی حاصل از اشاره‌ی گزاره به خویش (گزاره‌ای خودارجاع) مواجه هستیم. پارادوکسی که فقط با پاسخ‌های’درست‘ و یا ’غلط‘ قابل حل نیست. از این‌رو می‌پرسیم:

وقتی گزاره‌ای ’درست‘ نیست و در عین حال ’غلط‘ هم نیست پس چیست؟

این پرسش و پرسش‌های مشابه ذهن انسان را از زمان‌های بسیار دور تا دهه سوم قرن بیستم به خود مشغول کرده بود بی‌آن‌که پاسخی برای آن داشته باشد. در سال ۱۹۳۱ منطق‌دان جوان ۲۵ ساله پاسخی ارائه کرد که نه تنها منطق و ریاضیات را برای همیشه تغییر داد بلکه تاثیر بسزائی بر نوع نگاه و برداشت ما از مسائل اساسی فلسفه و فیزیک گذاشت. او بدرستی بزرگترین منطق‌دان قرن بیستم و بعضا حتی بزرگترین منطق‌دان تاریخ بعد از ارسطو محسوب می‌شود. نام او کورت گودل (Kurt Gödel) است. گودل ریاضی‌دان و منطق‌دان اتریشی ـ آمریکائی (۱۹۷۸ـ۱۹۰۶)، بود که اینشتین در باره‌ی او ‌گفت “من فقط به این خاطر به انستیتو می‌آیم “که افتخار آن داشته باشم با گودل قدم‌زنان به خانه برگردم.”۴  

 پاسخِ گودل به پرسش ذکر شده تحت نام ’قضایای ناتمامیّت‘ معروف است، قضایائی که بیان از ناتمامیت ریاضیات دارند. قضایای ناتمامیت در منطق ریاضی و فلسفه‌ی ریاضی از اهمیت بسزائی برخوردار هستند، به‌ویژه به‌خاطر رد برنامه‌ی دیوید هیلبرت، ریاضی‌دان معروف آلمانی (۱۹۴۳ـ۱۸۶۲)، که معتقد بود می‌توان مجموعه‌ای کامل و سازگار از گزاره‌ها (آکسیوم‌ها، اصول موضوعه) برای کل ریاضیات ارائه داد. یعنی، می‌توان ریاضیات را چنان پی‌ریزی کرد که پاسخ‌گوی تمامی قضایا و قوانین‌ آن باشد.  گودل اما نشان داد که خواست هیلبرت به‌خاطر گزاره‌های ’تصمیم‌ناپذیر‘ عملی نیست. به این علت که هر گزاره‌ای را نمی‌توان اثبات و یا رد کرد. به عبارت دیگر، اثبات ریاضی (استدلال منطقی) محدودیت‌هایی دارد. در واقع قضایای گودل نشان می‌دهد که در هر سیستم آکسیوماتیک (سیستم صوری اصول موضوعه مانند ریاضیات) همواره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیری وجود دارند که بر اساس آکسیوم‌های مربوطه نه قابل اثبات هستند و نه می‌توان آنها را رد کرد. آکسیوم‌، اصل موضوع، قانون و یا پنداشت گزاره‌ایست که فرض بر درست بودنش است. صرفا به این خاطر که بدیهی و پرواضح می‌نماید. یعنی، بدون اثبات پذیرفته می‌شود. سایر گزاره‌ها از این ‌پیش‌فرض‌‌ها با یاری قواعد استنتاج بدست می‌آیند که به آنها ’قضیه‘ می‌گوئیم. در این روند گزاره‌هایی نیز ظاهر می‌شوند که خودارجاع، یعنی تصمیم‌ناپذیر (نه قابل اثبات و نه رد کردن) هستند. برای اثبات تصمیم‌ناپذیری این نوع گزاره‌ها گودل روشی را ابداع و در برهان خود از آن استفاده کرد (تبدیل گزاره‌های ریاضی و معادلات به کدهای عددی) که در تاریخ ریاضیات بی‌همتاست. روشی که نشان از نبوغ فوق‌العاده او در منطق ریاضی دارد.   

برای مطالعه متن کامل نوشته با فرمت پی دی اف لطفا اینجا کلیک کنید

دیدگاهی بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.